2.4 Vector Spaces

Groups

집합 G와 연산 ⊗ 가 있다고 할때,

G:=(G,⊗)가 group이라고 불리기 위해서는 다음 조건들이 성립되어야 한다.

 

1. Closure of G under ⊗ : 연산이 닫혀있어야 한다. ( 집합 G에서 두 원소를 연산했을 때 그 결과가 여전히 그 집합 G에 속해야 한다. )

2. Associativity: G의 모든 원소에 대해 결합 법칙이 성립한다. 

3. Neutral Element (항등원): G에는 항등원 $e \in G$가 존재하며, x에 e를 적용하면 자기자신이 나옴.

4. Inverse Element (역원): G의 모든 원소 $x \in G$에 대해, 그에 상응하는 역원 $y \in G$가 존재, x⊗y=e 그리고 y⊗x= ey를 만족.

 

group G의 임의의 x,y에 대해 x⊗y = y⊗x가 보장된 경우(=교환법칙 성립), "아벨군 (Abelian group)"이라고 한다.

 

Example 2.10 (Group 개념)

- (Z, +)는 Abelian Group이다.

- ($N_0$, +)는 Group이 아니다. ($N_0$는 자연수와 0을 합친것) 0이라는 항등원을 가지기는 하지만 inverse elements가 없기 때문이다.

 

 

Vector Spaces

Vector Space V = (V,+,•)는 2가지 조건을 만족한다.

1) +: V x V -> V

2) • : R x V -> V

 

즉, 1) 두 벡터의 합 (+), 2) 벡터의 실수배 (•)에 대한 연산법칙을 만족하면 벡터공간이라고 부른다. 

 

 

V는 다음의 조건을 만족한다.

1) (V, +)는 아벨군이다.

 

2) 분배법칙이 성립한다.

 

3) 결합법칙이 성립한다. (외적연산: 서로다른 집합의 원소들간의 연산)

 

4) 외적 연산에 대한 항등원:

 

(V, +)의 항등원은 0벡터이다. (+는 내적연산임: 같은 집합의 원소들끼리 연산하는것)

 

 

Vector Subspaces

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W가 벡터공간 구조를 가질 때, 그 부분집합 W를 벡터 부분공간이라고 한다.

말이 어려운데, 그냥 부분집합이라고 생각하면 될것 같다. 

다만 부분집합이 정의된 연산에 기존 정의된 집합을 벗어나지 않는 성질을 가져야, subspace라고 할 수 있다.

 

예를 들어 V=(V,+,⋅)가 벡터 공간이고, U⊆V, U가 있다고 가정하자.

U = (U,+,⋅)는 V의 벡터 부분공간이라고 불리며, 벡터 공간 연산 +와 ⋅가 U x U와 RxU로 제한된 상태에서 U가 벡터공간일때 U를 V의 부분공간이라고 한다. 

 

만약 $U \subseteq V$이고 V가 벡터공간이면, U는 V의 성질들이 모두 성립한다.

여기에는 아벨군 성질, 분배법칙, 결합법칙, 항등원 등이 모두 포함된다.

(U,+,⋅)가 V의 부분공간인지 여부를 확인하려면, 다음을 증명해야한다.

1. $U \neq \O$, 특히 0∈U

2. closure of U (스칼라곱과 벡터의 합 연산에 대해 닫혀있다.)

 

 

Example 2.12

아래 그림의 A,B,C,D 중 D만 $R^2$의 subspace이다. (A, C는 closure violated, B는 0을 포함하지 않기 때문)