2.6 Basis and Rank

Basis

Basis (기저)란, $R^m$ 의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터로 이루어진 집합을 뜻한다.

 

vector space V = (V,+,•)와 $B \subseteq V, V \neq ⏀$면 다음의 명제들이 동치이다.

- B 는 V의 basis다

- B는 minimal generating set이다.

- B는 V에서 선형독립인 벡터들의 최대 집합이다. 즉, 이 집합에 다른 벡터를 추가하면 선형 종속이 된다.

- 모든 벡터 $x \in V$는 B에 있는 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 그 선형결합은 유일하다.

 

✭ 모든 벡터공간은 basis를 가진다! ✭

 

Example 2.16

$R^3$에서 standard basis는 다음과 같다.

 

다른 basis로는 이런것들이 있다.

 

A는 linearly independent하지만, basis가 없다.

Basis 구하는 방법

모든 벡터공간 V는 기저 B를 가진다.

위의 예제와 같이 벡터공간에는 여러개의 기저가 존재할수있다. 즉, 유일한 기저는 없다.

그러나 모든 기저는 동일한 수의 원소, 즉 기저벡터(Basis Vector)를 가진다.

 

V의 차원은 V의 기저 벡터들의 수이다. (dim(V))

 

 

U의 basis를 찾는 방법은 다음과 같다.

1. span하는 벡터들을 행렬 A의 열로 작성한다.

2. 행렬 A의 행 사다리꼴 형태를 구한다.

3. pivot 열에 해당하는 span vector들이 U의 basis가 된다.

 

Example 2.17 Basis 구하기

위와 같은 벡터가 있다고 가정하자.

한 행렬로 합친후에 row-echelon form 을 만든다.

(가우스 소거법 적용하면 아래처럼 됨)

pivot 열이 $x_1, x_2, x_4$. 즉, $x_1, x_2, x_4$가 basis가된다.

 

Rank

선형 독립인 열의 개수는 선형 독립인 행의 개수와 동일하며, 이를 rank라고 한다.

Example 2.18

위 행렬은 linearly independent한 row/column이 2개니까 (column으로 따지면 1,2번째 열) rank(A) = 2이다.

 

Rank의 특징

- rk(A) = rk($A^T$)

- $A \in R^{m \times n}$의 행들은 $R^n$안의 부분공간 W를 생성하며, 이 부분 공간의 차원은 rk(A)이다. (W의 기저는 $A^T$에 가우스 소거법 적용해서 찾을 수 있다.)

- 모든 $A \in R{n \times n}$에 대해, A가 정칙, 즉 가역행렬일 필요충분조건은 rk(A) = n

- 모든 $A \in R{m \times n}$에 대해, 선형방정식 시스템 Ax = b를 풀 수 있는 필요충분조건은 rk(A) = rk(A|b). (이때 A|b는 확장행렬)

- $A \in R{m \times n}$일때, 방정식 Ax = 0의 해의 부분공간의 차원은 n-rk(A)이다. 

- 행렬이 rank deficient이라는 것은 완전 계수가 아니라는 것을 의미한다.

 

 

예시를 몇개 보자

A(3 x 2 행렬)에서 rk(A) = 2 면 full column rank

B(2 x 3 행렬)에서 rk(A) = 2 면 full row rank

rk(A) = 1이면 rank deficient

C(3 x 3 행렬)에서 rk(A) = 3이면 full rank