2.7 Linear Mappings

선형사상

선형사상은 함수를 생각하면 된다.

그러니까 vector space에 어떠한 함수를 통과시켜서 나오는 또 다른 vector space이다.

m차원의 좌표를 n차원의 좌표로 보내는 함수라고 생각해도 편하다.

위와 같은 식이 성립한다면 $\Phi : V \to W$는 선형사상이라고 부른다.

 

전사, 단사, 전단사

 

1. Injective(단사)

    - 공역 전체를 함수값으로 사상시켰다는 말로, 치역과 공역이 같음을 의미한다.

 

2. Surjective(전사)

    - 정의역의 모든 원소에 대해 대응하는 함수값이 모두 다르다!

    - W의 모든 element가 $\Phi$를 이용해서 reached할수있다.

 

3. Bijective(전단사)

    - 전사이면서 단사

    - 즉, 정의역의 모든 원소가 각기 다른 1개로 대응하면서, 공역 전체로 대응하는 완벽한 대응, 1:1 대응이다.

 

 

Special Cases of Linear Mapping

- homormorphism

 

 

 

 

- 유한 차원의 벡터 공간 V와 W는 **동형(isomorphic)**이며, 그 필요충분조건은 dim(V)=dim(W)이다.

- 선형사상 $\Phi: V \to W$와 Ψ: $W \to X$가 있을때, 사상 Ψ∘Φ: V→X도 선형이다.

- 책을 보다보면 homormorphism이 많이 나오는데 벡터공간에서의 hormomorphism은 선형사상과 동일하다.  

   벡터 공간 V, W가 있을 때, 함수 Φ:V->W가 다음 두 조건을 만족하면 호모모피즘이라고 한다.

   (벡터 공간 정의할때 (V, +, •) 였다는거 기억하기)

   1) Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y) (덧셈 보존)

   2) Φ(λx)=λΦ(x)           (스칼라 곱 보존)

 

 

Transformation Matrix

- 행렬 측면에서 살펴보자.

- V-> W로 사상하고, ordered basis각각 B, C 로 정의되어 있을때 transformation maatrix는 다음과 같이 만든다.

- V에다가 transformation matrix를 적용하면 W에 사상하게된다는 뜻!

 

 

Example 2.22

(a) original data를 (b), (c), (d)로 만들기 위한 transformation matrix는 다음과 같다.

 

 

Basis Change

기저 변환