3.2 Inner Products

 

Dot Product

- 스칼라 곱(scalar product) 또는 점곱(dot product)

- 다음과 같은 공식으로 계산된다. 

    $x^{\top }y = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i$

 

General Inner Products 

- 벡터공간 V와 Ω: V x V -> R가 두 벡터를 실수로 사상하는 쌍선형 사상이라고 가정할때,

   양의 정부호이고 대칭쩍인 쌍선형사상 Ω: V x V -> R는 V의 내적이라고 부른다.

- (V,⟨⋅,⋅⟩) 를 내적공간이라고 부른다.

 

Symmetric, Positive Definite Matrix

- 다음 조건을 만족하는 대칭행렬을 symmetric, positive definite 행렬이라고 부른다.

 

Example 3.4

 

 

- 만약 A가 symmetric, positive definite라고 하면 내적은 다음과 같다.

 

특징

1. A의 null space는 0만 포함한다. 그 이유는 $x^TAx>0$이 $x \neq 0$인 모든 경우에 성립하기 때문이다.

2. A의 대각원소 $a_{ii}는 양수이다.$