2.5 Linear Independence

Linear Independence

$R^n$ 공간에서 벡터 ${v_1, v_2, ... v_p}$가 있을 때, 만약 벡터 방정식이 trivial solution(자명해)만을 가지고 있다면 Linearly Independence (선형 독립) 하다고 한다. 

 

다음 속성들은 벡터들이 선형 독립인지 여부를 판단하는데 유용하다.

- k개의 벡터는 선형 종속이거나 선형 독립이다. 다른 선택지는 없다.

- 만약 $x_1, ..., x_k$ 중 적어도 하나의 벡터가 0이면, 그 벡터들은 선형 종속이다.

- 두 벡터가 동일할 때도 선형 종속이다.

- 만약 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다면, 그 벡터들은 선형 종속이다.

- 벡터들이 선형 독립인지 여부를 확인하는 실용적인 방법은 가우스 소거법이다. 가우스 소거법을 수행해 행렬을 행 사다리꼴 형태로 변환하고 pivot을 확인한다.

  예를 들어서, 다음과 같은 행 사다리꼴 형태가 있을때, 

$\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 2 \\\end{pmatrix}$

  첫번째 열과 세번째 열은 pivot 열이다. 그러나 두번째 열은 pivot 열이 아니다. 선형 독립이려면 모든 열이 pivot이여야 하기 때문에 해당 벡터들은 선형 종속이다.

 

Example 2.14

아래 행렬은 pivot이 1,2,3번째 column. 즉, 모든 컬럼이 pivot 열이므로 linearly independent하다.

 

free variable, pivot 설명: https://somewheretogo.tistory.com/198