2.2 Matrices

Matrices (행렬이란?)

- 자연수 $m,n \in \mathbb{N}$ 에 대해, 실수값을 갖는 (m,n) 행렬 A는 요소 $a_ij$로 구성된 mxn 순서쌍

- i = 1...m, j = 1...n, m개의 행과 n개의 열로 이루어진 직사각형 배열

 

- (1, n)-matrices는 row라고 하고, (m,1)-matrices는 column이라고 한다.

Matrix Addition and Multiplication (행렬의 덧셈과 곱셈)

- 덧셈:

   각 위치에 맞는 원소를 더하면 된다.

 

 

- 곱셈: 

   행렬 $A \in \mathbb(R)^{m \times n}$,  $B \in \mathbb(R)^{n \times k}$ 

    에 대해 원소 $c_{ij}$ 의 곱셈 $C = AB \in \mathbb(R)^{m \times k}$ 는 다음과 같이 계산된다.

   즉, $c_{ij}$ 는 A의 i번째 행과 B의 j번째 column에 속하는 원소를 곱하는것이다.

 

  잘 알려져있듯이 행렬을 곱할때는 가운데 있는 차수가 같아야 곱셈이 가능하다. 

  ★ 행렬의 곱셈은 교환법칙 성립 안함. (Example 2.3 참고) ★

 

 

Hadamard Product

- 행렬의 곱셈은 동일한 위치에 있는 원소의 곱이 아니다. ($c_{ij} \neq  a_{ij}b_{ij}$)

- 요소별 곱셈은 Hadamard 곱이라고 부른다.

 

 

Example 2.3

Identity Matrix (항등 행렬)

- 다음과 같이 n x n (정사각) 행렬이면서 대각 성분이 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행렬을 Identity Matrix라고 한다.

특징)

- 결합 법칙 성립:

 

- 분배 법칙 성립: 

 

- 어떤 행렬에 Identity Matrix를 곱하면 자기자신이 나온다.

 

Inverse  Matrix (역행렬)

- 정사각 행렬 $A \in \mathbb(R)^{n \times n}$ 에 대해 $B \in \mathbb(R)^{n \times n}$가 $AB = I_n = BA$를 만족하면 B는 A의 역행렬이다.

- 역행렬이 존재하는 행렬을 regular/invertible/non-singular 행렬이라고 부른다.

- 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 singular/noninvertible 행렬이라고 부른다.

 

- 2x2 행렬의 역행렬 존재성

위 A 행렬에 대해 A'를 곱하면 다음과 같은 행렬을 얻음.

따라서, A의 역행렬을 다음과 같다.

이때, 분모가 0이면 안되기 때문에 역행렬이 존재하기 위해서는 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$이여야 한다.

 

 

Example 2.4 (역행렬 예시)

 

Transpose Matrix (전치행렬)

- $A \in \mathbb(R)^{m \times n}$ 행렬과 $B \in \mathbb(R)^{n \times m}$ 행렬에 대해 $b_{ij} = a_{ji}$ 면 A의 transpose라고 부른다. ($B = A^T$)

 

특징)

 

Symmetric Matrix (대칭 행렬)

- 만약 $A = A^T$면 A를 대칭행렬이라고 한다.

 

특징)

- nxn 정사각 행렬만 대칭행렬이 될 수 있다. 

- 만약 A의 역행렬이 존재하면, $A^T$ 또한 역행렬이 존재한다. 

-   ★ symmetric matrix의 덧셈은 항상 대칭행렬이 되지만, 곱셈은 그렇지 않다. ★ 

 

 

Multiplication by Scalar (스칼라배)

 

Example 2.5 (분배법칙 예시)