2.1 Systems of Linear Equations

선형대수는 벡터와 벡터를 조작하는 특정 대수 규칙을 연구하는 학문이다.

우리가 학교에서 배운 벡터는 기하학적 벡터 라 불리며, 보통 문자 위에 작은 화살표를 붙여 나타낸다. (예시: $ \underset{x}{\rightarrow}$ , $ \underset{y}{\rightarrow}$ )

 

Systems of Linear Equations

 

다음은 선형방정식의 일반적인 모습이다. ($x_1$ ... $x_n$는 시스템에서 미지수)

 

 

Example 2.2

1) 다음과 같은 선형 방정식이 있다고 가정하자.

(1) 식과 (2) 식을 더하면 $2x_1 + 3x_3 = 5$ -> (3)식과 맞지 않기 때문에 해가 없다.

 

2) 다음과 같은 선형방정식에서는

(3) 식을 (1) 식에 대입하면 $x_1$은 1이 나온다.

그 후 나머지 식들을 사용해 $x_2$와 $x_3$ 값을 구하면 해는 (1,1,1)이다. (유일해)

 

3) 마지막으로 다음과 같은 선형 방정식이 있다고 가정하자.

(1) + (2) = (3) 이기 때문에, (3)식은 중복된다고 보고 지워도 된다. 

이러면 (1) , (2) 만으로 해를 유추해야하는데 미지수가 3개이므로 모든 해를 알아낼수없게 된다.

(1)과 (2)를 조합하면 $2x_1 = 5-3x_3$, $2x_2 = 1+x_3$ 가 나온다.

우리가 $x_3 = a \in \mathbb{R}$ (실수인 a)라고 정의하면, 해당 선형방정식의 답은 

$\left ( \frac{5}{2} - \frac{3}{2}a, \frac{1}{2} + \frac{1}{2}a, a  \right ), a\in \mathbb{R}$ 가 된다.

이 경우, 위 식을 만족하는 모든 $x_1$,$x_2$,$x_3$가 해가 될수있기 때문에 해는 무한대로 많아진다.

 

선형 방정식의 기하하적 해석 (Geometric Interpretation of Systems of Linear Equation)

- 두 변수 $x_1$,$x_2$를 가진 선형 방정식에서, 각 선형방정식은 $x_1x_2$-plane에 직선을 정의한다.

- 선형 방정식 시스템의 해는 모든 방정식을 동시에 만족해야하기 때문에, 해집합은 교차점이 된다.

 

행렬 (Matrices)

- 선형 방정식 시스템을 체계적으로 해결하기 위해, 행렬로 표시해 푼다.

- 이에 대한 자세한 설명은 다음챕터에서 다룬다.