Cauchy-Schwarz Inequality (코시-슈바르츠 부등식)∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥ Distance내적공간 (V, ⋅,⋅>)에서 다음 공식이 거리 계산하는 방법 (유클리드 거리) Metric d는 양의 정부호입니다. 즉, d(x,y)≥0d는 대칭적입니다. 즉, d(x,y)=d(y,x)삼각 부등식(Triangle inequality): d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)가 성립합니다.
Dot Product- 스칼라 곱(scalar product) 또는 점곱(dot product)- 다음과 같은 공식으로 계산된다. $ x^{\top }y = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i$ General Inner Products - 벡터공간 V와 Ω: V x V -> R가 두 벡터를 실수로 사상하는 쌍선형 사상이라고 가정할때, 양의 정부호이고 대칭쩍인 쌍선형사상 Ω: V x V -> R는 V의 내적이라고 부른다.- (V,⟨⋅,⋅⟩) 를 내적공간이라고 부른다. Symmetric, Positive Definite Matrix- 다음 조건을 만족하는 대칭행렬을 symmetric, positive definite 행렬이라고 부른다. Example 3.4 - 만약 A가 symmetric, p..
NormNorm이란 벡터의 크기를 나타낸다. 책에 쓰여진 정의를 읽어보자 ↓vector space V에서의 norm(놈, 노름)은 다음과 같은 함수이다.이 함수는 각 벡터 x에 대해 그 벡터의 길이 $\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix} \in R$를 할당하며, 모든 $\lambda \in R$와 $x,s \in V$에 대해 다음 조건들을 만족한다. Manhattam Norm - 1-norm, 혹은 L1-norm, 맨하탄 norm이라고 부른다.- 단순히 벡터의 각 원소들의 크기(절댓값)의 합으로 정의된다. - 예를 들어서 (1,2)라는 벡터가 있으면 x방향으로 +1, y방향으로 +2 => L1-norm은 3이 된다. Euclidean Norm- L2-norm 혹은 유클리드 norm)이..
선형사상선형사상은 함수를 생각하면 된다.그러니까 vector space에 어떠한 함수를 통과시켜서 나오는 또 다른 vector space이다.m차원의 좌표를 n차원의 좌표로 보내는 함수라고 생각해도 편하다.위와 같은 식이 성립한다면 $\Phi : V \to W$는 선형사상이라고 부른다. 전사, 단사, 전단사 1. Injective(단사) - 공역 전체를 함수값으로 사상시켰다는 말로, 치역과 공역이 같음을 의미한다. 2. Surjective(전사) - 정의역의 모든 원소에 대해 대응하는 함수값이 모두 다르다! - W의 모든 element가 $\Phi$를 이용해서 reached할수있다. 3. Bijective(전단사) - 전사이면서 단사 - 즉, 정의역의 모든 원소가 각기 다른 1..
BasisBasis (기저)란, $R^m$ 의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터로 이루어진 집합을 뜻한다. vector space V = (V,+,•)와 $B \subseteq V, V \neq ⏀$면 다음의 명제들이 동치이다.- B 는 V의 basis다- B는 minimal generating set이다.- B는 V에서 선형독립인 벡터들의 최대 집합이다. 즉, 이 집합에 다른 벡터를 추가하면 선형 종속이 된다.- 모든 벡터 $x \in V$는 B에 있는 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 그 선형결합은 유일하다. ✭ 모든 벡터공간은 basis를 가진다! ✭ Example 2.16$R^3$에서 standard basis는 다음과 같다. 다른 basis로는 이런것들이 있다. A는 l..
Linear Independence$R^n$ 공간에서 벡터 ${v_1, v_2, ... v_p}$가 있을 때, 만약 벡터 방정식이 trivial solution(자명해)만을 가지고 있다면 Linearly Independence (선형 독립) 하다고 한다. 다음 속성들은 벡터들이 선형 독립인지 여부를 판단하는데 유용하다.- k개의 벡터는 선형 종속이거나 선형 독립이다. 다른 선택지는 없다.- 만약 $x_1, ..., x_k$ 중 적어도 하나의 벡터가 0이면, 그 벡터들은 선형 종속이다.- 두 벡터가 동일할 때도 선형 종속이다.- 만약 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다면, 그 벡터들은 선형 종속이다.- 벡터들이 선형 독립인지 여부를 확인하는 실용적인 방법은 가우스 소거법이다. 가우스 소..
Groups집합 G와 연산 ⊗ 가 있다고 할때, G:=(G,⊗)가 group이라고 불리기 위해서는 다음 조건들이 성립되어야 한다. 1. Closure of G under ⊗ : 연산이 닫혀있어야 한다. ( 집합 G에서 두 원소를 연산했을 때 그 결과가 여전히 그 집합 G에 속해야 한다. )2. Associativity: G의 모든 원소에 대해 결합 법칙이 성립한다. 3. Neutral Element (항등원): G에는 항등원 $e \in G$가 존재하며, x에 e를 적용하면 자기자신이 나옴.4. Inverse Element (역원): G의 모든 원소 $x \in G$에 대해, 그에 상응하는 역원 $y \in G$가 존재, x⊗y=e 그리고 y⊗x= ey를 만족. group G의 임의의 x,y에 대해 x⊗..
선형방정식 풀기- 선형방정식을 matrix multiplication (Ax = b 형식)으로 나타낼 수 있다. Particular and General Solution 일반해 구하는 방법1. Ax = b를 만족하는 particular solution을 찾는다.2. Ax= 0 을 만족하는 모든 해를 찾는다.3. 1번 방법과 2번 방법을 혼합해 일반해를 구한다. 기본행 연산1. 두행을 교환한다.2. 행을 상수배한다.3. 서로 다른 두 행 더하기 이제 "일반해 구하는 방법"과 "기본행 연산"을 사용해 선형방정식의 일반해를 구해보자. Example 2.6 첨가행렬을 만들어 가우스 소거법을 진행한다. (행 사다리꼴 row-echelon from 을 만든다.) 과정은 다음과 같다. 가우스 소거법을 한 행렬은..
Matrices (행렬이란?)- 자연수 $m,n \in \mathbb{N}$ 에 대해, 실수값을 갖는 (m,n) 행렬 A는 요소 $a_ij$로 구성된 mxn 순서쌍- i = 1...m, j = 1...n, m개의 행과 n개의 열로 이루어진 직사각형 배열 - (1, n)-matrices는 row라고 하고, (m,1)-matrices는 column이라고 한다.Matrix Addition and Multiplication (행렬의 덧셈과 곱셈)- 덧셈: 각 위치에 맞는 원소를 더하면 된다. - 곱셈: 행렬 $A \in \mathbb(R)^{m \times n}$, $B \in \mathbb(R)^{n \times k}$ 에 대해 원소 $c_{ij}$ 의 곱셈 $C = AB \in \math..